Размер шрифта
A- A+
Межбуквенное растояние
Цвет сайта
A A A A
Изоображения
Дополнительно

Районный ресурсный центр по учебному предмету "Математика"

Тренер районного ресурсного центра по учебному предмету «Математика» Ануфриева Галина Борисовна,

учитель высшей квалификационной категории

Контактный телефон: +375293069336

Электронный адрес:galan48@tut.by

График проведение занятий районного ресурсного центра

Каждая суббота месяца

10.00-12.00

Список

участников районного ресурсного центра по учебному предмету

«Математика»

№ п/п

Ф.И.О. учащегося

Класс

Учреждение образования

1

Горбачевская Анна

IX

ГУО «Каменская средняя школа Бобруйского района»

2

Косиченко Алексей

IX

ГУО «Глушанский учебно-педагогический комплекс детский сад - средняя школа Бобруйского района»

3

Крючкова Полина

 

VIII

 

ГУО «Глушанский учебно-педагогический комплекс детский сад - средняя школа Бобруйского района»

4

Борисенок Павел

VIII

ГУО «Брожская средняя школа Бобруйского района»

5

Беловский Станислав

VIII

ГУО «Телушский учебно-педагогический комплекс детский сад - средняя школа Бобруйского района»

План

работы районного ресурсного центра

по подготовке учащихся Бобруйского района

к республиканской олимпиаде по учебному предмету

«Математика»

на ІIIчетверть 2020/2021 учебного года

п/п

Дата проведения

учебного занятия

Время проведения

Тема учебного занятия

 

Кол-во часов

Место проведения (учреждение, № кабинета)

1

16.01.2021

1000-1200

Методы решения задач на делимость

- Разложение на множители (слагаемые)

- Исключение целой части числа

2

онлайн

2

23.01.2021

1000-1200

Методы решения задач на делимость

- Равноостаточные классы

- Применение теоремы Безу

2

онлайн

3

30.01.2021

1000-1200

Методы решения задач на делимость

- Четность и нечетность чисел

- Квадрат натурального числа

2

онлайн

4

06.02.2021

1000-1200

Методы решения задач на делимость

- Бином Ньютона

- Малая теорема Ферма

- Последняя цифра числа.

2

онлайн

5

13.02.2021

1000-1200

Методы решения задач на делимость

- Последняя цифра числа.

2

онлайн

6

20.02.2021

1000-1200

Теория чисел-1

 

2

онлайн

7

27.02.2021

1000-1200

Теория чисел-2

 

2

онлайн

8

06.03.2021

1000-1200

Комбинаторика

 

2

онлайн

9

13.03.2021

1000-1200

Комбинаторика

 

2

онлайн

10

19.03.2021

1000-1200

Геометрия

 

2

онлайн

11

27.03.2021

1000-1200

Игры

 

2

онлайн

 

Занятие 1

Разложение на множители (или слагаемые)

 

Задача 1 

Доказать, что при любом целом  n  число (7n-2)2-(2n-7)2 делится на 5 и на 9. 

Решение: (7n-2)2-(2n-7)2=(7n-2-2n+7)(7n-2+2n-9)=(5n+5)(9n-9)=5(n+1)·9(n-1) – кратно и 5, и 9.

 

Задача 2

Доказать, что число n3+11n делится на 6 при любом натуральном n. 

Решение: n3+11n=n(n2+11)=n(n2-1+12)=n(n-1)(n+1)+12n,  первое слагаемое это произведение трех последовательных натуральных чисел, среди которых одно обязательно делится на 3 и хотя бы одно делится на 2, значит, оно делится на 6. А второе слагаемое содержит множитель 12, кратный 6. Так как каждое слагаемое в этой сумме делится на 6, то и вся сумма делится на 6.

 

Задача 3

Доказать, что при всяком целом значении n, многочлен n5-5n3+4n делится на 120. Рассмотрим делитель. Число 120 можно представить в таком виде: 120=1*2*3*4*5, т.е. в виде произведения пяти последовательных целых чисел, начиная с единицы. В натуральном ряду чисел каждое второе делится на 2, каждое третье – на 3, каждое четвертое – на 4, каждое пятое – на 5 и т.д. Таким образом, если мы имеем произведение любых пяти последовательных целых чисел, то одно из них обязательно будет делиться на 2, одно – на 3, одно – на 4, одно – на 5, а все произведение будет делиться на 2*3*4*5, т.е. на 120. 

Теперь вся задача будет сводиться к представлению нашего многочлена в виде произведения пяти последовательных чисел, что и выполняется следующим образом: n5-5n3+4n=n(n4-5n2+4)=n(n4-n2-4n2+4)=n[(n2-1)*n2-(n2-1)*4]=n(n2-1)(n2-4)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2). Раз наш многочлен представляет собой произведение пяти последовательных чисел, то он делится на 120 при любом целом значении n. 

 

Задача 4

Доказать, что если x и y – целые числа такие, что число 3x+8y делится на 17, то число 35x+65y также делится на 17.

Решение: Так как 3x+8y делится на 17, то (17x+17y)-(3x+8y)=14x+9y тоже делится на 17. Тогда 7(3x+8y)+14x+9y=21x+56y+14x+9y=35x+65y делится на 17.

Исключение целой части числа

В некоторых задачах решение легко находится, если применить исключение целой части числа. Особенно часто этот метод применяется, когда в целых числах решается одно уравнение с двумя переменными. Рассмотрим этот прием на нескольких задачах.

 

Задача 1 

Найти все целые x и y, удовлетворяющие уравнению x+y=xy. 

Решение: x+y=xy, <=> x-xy = -y,

             x(1-y) = -y,

             x = -y/(1-y)

x=y/(y-1)=(y-1+1)/(y-1)=1+(1/(y-1))

(1/(y-1)) є Z, если y-1=±1

y-1=1, y=2

y-1=-1, y=0

Если y=0, то x=0/(1-0)=0

Если y=2, то х=-2/(1-2)=2

Ответ: (0;0) и (2;2).

 

Задача 2

Для каких целых n число (n2-n+1)/(n+2) является целым?

Решение: разделив числитель дроби на ее знаменатель, выделим целую часть у данной дроби (n2-n+1)/(n+2)=(n-1)+1/(n+2) – число будет целым тогда, когда n+2 – является делителем 1, т.е. если n+2=1 или n+2= -1 

                   n= -1           n= -3.

 

Занятие 2

Равноостаточные классы

 

Тот факт, что любое число n  при делении на 2 может дать остаток 0 или 1, при делении на 3 – один из остатков 0, 1, 2 и т.д., при делении на k – только один из следующих остатков 0, 1, 2, 3, …, k-1, может также служить отправным пунктом при  решении задач, связанных с делимостью чисел.

 

Задача 1 

Доказать, что разность между квадратом числа, которое не делится на 3, и единицей, делится на 3. 

Решение: если число не делится на 3, то оно имеет вид 3k+1 или 3k+2. В первом случае разность между его квадратом и единицей равна (3k+1)2-1=9k2+6k+1-1=9k2+6k, во втором (3k+2)2-1=9k2+12k+4-1=9k2+12k+3. В обоих случаях разность делится на 3, т.к. каждое слагаемое делится на 3. Примечание. Числа, не делящиеся на 3, можно представить не двумя, а одной формулой 3k±1. Доказательство аналогично.


Применение  теоремы  Безу

Теорема Безу: 

Остаток от деления многочлена a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an на двучлен х-а равен значению этого многочлена при х  равном а. 

 

Из теоремы Безу следует, что при любом нечетном значении n выражения an +bn  и an -bn  делятся соответственно на a+b и a-b, а при четном n разность an -bn  делится и на a+b, и на a-b. На основании этого факта решаются многие задачи на делимость.

 

Задача 1 

Доказать, что ни при  каком натуральном n сумма n3+6n2+15n+15 не делится на (n+2). 

Решение: согласно теоремы Безу, если многочлен P(n) делится на (n-a), то остаток от деления этого многочлена на (n-a) будет равен 0 или P(a) при любом n. Найдем P(-2)=(-2)3+

+6(-2)2+15(-2)+15= -8+24-30+15=11. Остаток отличен от 0, значит ни при каком n сумма n3+6n2+15n+15 не делится на (n+2).

 

Задача 2

Доказать, что выражение 39n-2·4n+18n делится на 7 при любом натуральном n.

         Решение: запишем наше выражение в таком виде: 

39n-2·4n+18n =(39n-4n)+(18n-4n), тогда  39n-4n делится на разность оснований степеней, т.е. на 39-4=35, а следовательно, делится и на 7, 18n-4n также делится на разность оснований 18-4=14, а значит и на 7.

 

Задача 3

Доказать, что 3n(13n-10n-6n)+65n делится на 56 при всех нечетных n.

         Решение: так как 56=7·8, то достаточно доказать делимость данного выражения на 7 и на 8. Это можно сделать, представив заданное выражение в следующем виде: 

3n(13 n-10n-6n)+65n=39n-30n-18n+65n=3n(13n-6n)+5n(13n-6n)=(13n-6n)(3n+5n). Первый сомножитель делится на 7, а второй на 8 при всех нечетных n. 

 

 

 

Разделы сайта