Тренер районного ресурсного центра по учебному предмету «Математика» Ануфриева Галина Борисовна,
учитель высшей квалификационной категории
Контактный телефон: +375293069336
Электронный адрес:galan48@tut.by
График проведение занятий районного ресурсного центра
Каждая суббота месяца
10.00-12.00
Список
участников районного ресурсного центра по учебному предмету
«Математика»
|
№ п/п
|
Ф.И.О. учащегося
|
Класс
|
Учреждение образования
|
|
1
|
Горбачевская Анна
|
IX
|
ГУО «Каменская средняя школа Бобруйского района»
|
|
2
|
Косиченко Алексей
|
IX
|
ГУО «Глушанский учебно-педагогический комплекс детский сад - средняя школа Бобруйского района»
|
|
3
|
Крючкова Полина
|
VIII
|
ГУО «Глушанский учебно-педагогический комплекс детский сад - средняя школа Бобруйского района»
|
|
4
|
Борисенок Павел
|
VIII
|
ГУО «Брожская средняя школа Бобруйского района»
|
|
5
|
Беловский Станислав
|
VIII
|
ГУО «Телушский учебно-педагогический комплекс детский сад - средняя школа Бобруйского района»
|
План
работы районного ресурсного центра
по подготовке учащихся Бобруйского района
к республиканской олимпиаде по учебному предмету
«Математика»
на ІIIчетверть 2020/2021 учебного года
|
№
п/п
|
Дата проведения
учебного занятия
|
Время проведения
|
Тема учебного занятия
|
Кол-во часов
|
Место проведения (учреждение, № кабинета)
|
|
1
|
16.01.2021
|
1000-1200
|
Методы решения задач на делимость
- Разложение на множители (слагаемые)
- Исключение целой части числа
|
2
|
онлайн
|
|
2
|
23.01.2021
|
1000-1200
|
Методы решения задач на делимость
- Равноостаточные классы
- Применение теоремы Безу
|
2
|
онлайн
|
|
3
|
30.01.2021
|
1000-1200
|
Методы решения задач на делимость
- Четность и нечетность чисел
- Квадрат натурального числа
|
2
|
онлайн
|
|
4
|
06.02.2021
|
1000-1200
|
Методы решения задач на делимость
- Бином Ньютона
- Малая теорема Ферма
- Последняя цифра числа.
|
2
|
онлайн
|
|
5
|
13.02.2021
|
1000-1200
|
Методы решения задач на делимость
- Последняя цифра числа.
|
2
|
онлайн
|
|
6
|
20.02.2021
|
1000-1200
|
Теория чисел-1
|
2
|
онлайн
|
|
7
|
27.02.2021
|
1000-1200
|
Теория чисел-2
|
2
|
онлайн
|
|
8
|
06.03.2021
|
1000-1200
|
Комбинаторика
|
2
|
онлайн
|
|
9
|
13.03.2021
|
1000-1200
|
Комбинаторика
|
2
|
онлайн
|
|
10
|
19.03.2021
|
1000-1200
|
Геометрия
|
2
|
онлайн
|
|
11
|
27.03.2021
|
1000-1200
|
Игры
|
2
|
онлайн
|
Занятие 1
Разложение на множители (или слагаемые)
Задача 1
Доказать, что при любом целом n число (7n-2)2-(2n-7)2 делится на 5 и на 9.
Решение: (7n-2)2-(2n-7)2=(7n-2-2n+7)(7n-2+2n-9)=(5n+5)(9n-9)=5(n+1)·9(n-1) – кратно и 5, и 9.
Задача 2
Доказать, что число n3+11n делится на 6 при любом натуральном n.
Решение: n3+11n=n(n2+11)=n(n2-1+12)=n(n-1)(n+1)+12n, первое слагаемое это произведение трех последовательных натуральных чисел, среди которых одно обязательно делится на 3 и хотя бы одно делится на 2, значит, оно делится на 6. А второе слагаемое содержит множитель 12, кратный 6. Так как каждое слагаемое в этой сумме делится на 6, то и вся сумма делится на 6.
Задача 3
Доказать, что при всяком целом значении n, многочлен n5-5n3+4n делится на 120. Рассмотрим делитель. Число 120 можно представить в таком виде: 120=1*2*3*4*5, т.е. в виде произведения пяти последовательных целых чисел, начиная с единицы. В натуральном ряду чисел каждое второе делится на 2, каждое третье – на 3, каждое четвертое – на 4, каждое пятое – на 5 и т.д. Таким образом, если мы имеем произведение любых пяти последовательных целых чисел, то одно из них обязательно будет делиться на 2, одно – на 3, одно – на 4, одно – на 5, а все произведение будет делиться на 2*3*4*5, т.е. на 120.
Теперь вся задача будет сводиться к представлению нашего многочлена в виде произведения пяти последовательных чисел, что и выполняется следующим образом: n5-5n3+4n=n(n4-5n2+4)=n(n4-n2-4n2+4)=n[(n2-1)*n2-(n2-1)*4]=n(n2-1)(n2-4)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2). Раз наш многочлен представляет собой произведение пяти последовательных чисел, то он делится на 120 при любом целом значении n.
Задача 4
Доказать, что если x и y – целые числа такие, что число 3x+8y делится на 17, то число 35x+65y также делится на 17.
Решение: Так как 3x+8y делится на 17, то (17x+17y)-(3x+8y)=14x+9y тоже делится на 17. Тогда 7(3x+8y)+14x+9y=21x+56y+14x+9y=35x+65y делится на 17.
Исключение целой части числа
В некоторых задачах решение легко находится, если применить исключение целой части числа. Особенно часто этот метод применяется, когда в целых числах решается одно уравнение с двумя переменными. Рассмотрим этот прием на нескольких задачах.
Задача 1
Найти все целые x и y, удовлетворяющие уравнению x+y=xy.
Решение: x+y=xy, <=> x-xy = -y,
x(1-y) = -y,
x = -y/(1-y)
x=y/(y-1)=(y-1+1)/(y-1)=1+(1/(y-1))
(1/(y-1)) є Z, если y-1=±1
y-1=1, y=2
y-1=-1, y=0
Если y=0, то x=0/(1-0)=0
Если y=2, то х=-2/(1-2)=2
Ответ: (0;0) и (2;2).
Задача 2
Для каких целых n число (n2-n+1)/(n+2) является целым?
Решение: разделив числитель дроби на ее знаменатель, выделим целую часть у данной дроби (n2-n+1)/(n+2)=(n-1)+1/(n+2) – число будет целым тогда, когда n+2 – является делителем 1, т.е. если n+2=1 или n+2= -1
n= -1 n= -3.
Занятие 2
Равноостаточные классы
Тот факт, что любое число n при делении на 2 может дать остаток 0 или 1, при делении на 3 – один из остатков 0, 1, 2 и т.д., при делении на k – только один из следующих остатков 0, 1, 2, 3, …, k-1, может также служить отправным пунктом при решении задач, связанных с делимостью чисел.
Задача 1
Доказать, что разность между квадратом числа, которое не делится на 3, и единицей, делится на 3.
Решение: если число не делится на 3, то оно имеет вид 3k+1 или 3k+2. В первом случае разность между его квадратом и единицей равна (3k+1)2-1=9k2+6k+1-1=9k2+6k, во втором (3k+2)2-1=9k2+12k+4-1=9k2+12k+3. В обоих случаях разность делится на 3, т.к. каждое слагаемое делится на 3. Примечание. Числа, не делящиеся на 3, можно представить не двумя, а одной формулой 3k±1. Доказательство аналогично.
Применение теоремы Безу
Теорема Безу:
Остаток от деления многочлена a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an на двучлен х-а равен значению этого многочлена при х равном а.
Из теоремы Безу следует, что при любом нечетном значении n выражения an +bn и an -bn делятся соответственно на a+b и a-b, а при четном n разность an -bn делится и на a+b, и на a-b. На основании этого факта решаются многие задачи на делимость.
Задача 1
Доказать, что ни при каком натуральном n сумма n3+6n2+15n+15 не делится на (n+2).
Решение: согласно теоремы Безу, если многочлен P(n) делится на (n-a), то остаток от деления этого многочлена на (n-a) будет равен 0 или P(a) при любом n. Найдем P(-2)=(-2)3+
+6(-2)2+15(-2)+15= -8+24-30+15=11. Остаток отличен от 0, значит ни при каком n сумма n3+6n2+15n+15 не делится на (n+2).
Задача 2
Доказать, что выражение 39n-2·4n+18n делится на 7 при любом натуральном n.
Решение: запишем наше выражение в таком виде:
39n-2·4n+18n =(39n-4n)+(18n-4n), тогда 39n-4n делится на разность оснований степеней, т.е. на 39-4=35, а следовательно, делится и на 7, 18n-4n также делится на разность оснований 18-4=14, а значит и на 7.
Задача 3
Доказать, что 3n(13n-10n-6n)+65n делится на 56 при всех нечетных n.
Решение: так как 56=7·8, то достаточно доказать делимость данного выражения на 7 и на 8. Это можно сделать, представив заданное выражение в следующем виде:
3n(13 n-10n-6n)+65n=39n-30n-18n+65n=3n(13n-6n)+5n(13n-6n)=(13n-6n)(3n+5n). Первый сомножитель делится на 7, а второй на 8 при всех нечетных n.